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卷三十八

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  志第十四  历三

  开元《大衍历经》

  演纪上元阏逢困敦之岁,距今开元十二年甲子岁,岁积九千六百六十六万一千七百四十算。

  大衍步中朔第一

  大衍通法:三千四十。

  策实:一百一十一万三百四十三。

  揲法:八万九千七百七十三。

  灭法:九万一千三百。

  策馀:一万五千九百四十三。

  用差:一万七千一百二十四。

  挂限:八万七千一十八。

  三元之策:一十五;馀,六百六十四;秒,七。

  四象之策:二十九;馀,一千六百一十三。

  中盈分:一千三百二十八;秒,十四。

  爻数:六十。

  象统:二十四。

  推天正中气 以策实乘入元距所求积算,命曰中积分。盈大衍通法得一,为积日。不盈者,为小馀。爻数去积日,不尽日为大馀。数从甲子起算外,即所求年天正中气冬至日及小馀也。

  求次气 因天正中气大小馀,以三元之策及馀秒加之。其秒盈象统,从小馀。小馀满大衍通法,从大馀。大馀满爻数,去之。命如前,即次气恆日及馀秒。凡率相因加者,下有馀秒,皆以类相从。而满其法,则迭进之,用加上位。日盈爻数,去之也。

  推天正合朔 以揲法去中积分。其所不尽,曰归馀之卦。以减积积分,馀为朔积分。乃如大衍通法而一,为日。不尽,为小馀。日盈爻数,去之。不盈者,为大馀。命以甲子算外,即所求年天正合朔经日及小馀也。

  求次朔及弦望 因天正经朔大小馀,以四象之策及馀加之。数除如法,即次朔经日及馀也。又自经朔加一象之日七及馀一千一百六十三少,得上弦。倍之,得望。参之,得下弦。四之,是谓一揲,复得后月之朔。凡四分一为少,二为半,三为太,四为全。加满其前数,去之,从上位。综中朔盈虚分,累益归馀之卦,每其月闰衰。凡归馀之卦五万六千七百六十以上,其岁有闰。因考其闰衰,满卦限以上,其月及合置闰。或有进退,皆以定朔无中气裁焉。

  推没日 置有没之气恆小馀,以象统乘之,内秒分,参而伍之,以减策实。馀满策馀,为日。不满,为没馀。命起也。凡恆气小馀,不满大衍通法,如中盈分半法已下,为有没之气。

  推灭日 以有灭之朔经小馀,减大衍通法。馀,倍参伍乘之,用减灭法。馀,满朔虚分,为日。不满,为灭馀。命起经朔初日算外,即合朔后灭日也。凡经朔小馀不满朔虚分者,为有灭之朔。

  大衍步发敛术第二

  天中之策:五;馀,二百二十二;秒,三十一。秒法:七十二。

  地中之策:十八;馀,一百六十五;秒,八十六。秒法:一百二十。

  贞晦之策:三;馀,一百三十二;秒,一百三。秒法:如前。

  辰法:七百六十。

  刻法:三百四。

  推七十二候 各因中节大小馀命之,即初候日也。以天中之策及馀秒加之,数除如法,即次候日。又加,得末候日。凡发敛,皆以恆气。

  推六十卦 各因中气大小馀命之,公卦用事日也。以地之策及馀秒累加之,数除如法,各次卦用事日。若以贞晦之策加诸候卦,得十二节之初外卦用事日。

  推五行用事 各因四立大小馀命之,即春木、夏火、秋金、冬水首用事日也。以贞晦之策及馀秒,减四季中气大小馀,即其月土始用事日。凡抽加减而有秒者,母若不齐,当令母互乘子。乃加减之。母相乘为法。

  推发敛去朔 各置其月闰衰,以大衍通法约之,为日。不尽为馀,即其月中气去经朔日算及馀秒也。求卦候者,各以天地之策及馀秒累加减之,中气之前以减,中气之后以加。得去经朔日算及馀秒。

  推发敛加时 各置其小馀,以六爻乘之,如辰法而一,为半辰之数。不尽者,五之,三刻法除之,为刻。又不尽者,三约为分。此分满刻法为刻,若令满象积为刻者,即置不尽之数,十之,十九而一,为分。命起子半算外,各其加时所在辰刻及分也。

  大衍步日躔术第三

  乾实:一百一十一万三百七十九太。周天度:三百六十五。虚分七百七十九太。

  岁差:三十六太。

  求每日先后定数 以所入气并后气盈缩分,倍六爻乘之,综两气辰数除,入之,为末率。又列二气盈缩分,皆倍六爻乘之,各如辰数而一,以少减多,馀为气差。加减末率,至后以差加,分后以差减。为初率。倍气差,亦六爻乘之,复综两气辰数以除之,为日差。半之,以加减初末,各为定率。以日差累加减气初定率,至后以差减,分后以差加。为每日盈缩分。乃驯积之,随所入气日加减气下先后数,各其日定。冬至后为阳复,在盈加之,在缩减之。夏至后为阴复,在缩加之,在盈减之。距四正前一气,在阴阳变革之际,不可相并,皆因前末为初率。以气差至前加之,分前减之,为末率。馀依前率,各得所求。其朓朒亦放此求之,各得每日定数。其分不满全数,母又每气不同,当退法除之,用百为母,半已上从一,已下弃之。下求轨漏,馀分不满准此。

  推二十四气定日 冬夏至皆在天地之中,无有盈缩。馀各以气下先后数,先减后加恆气小馀。满若不足,进退其日。命从甲子算外,各其定日及馀秒也。凡推日月行度及轨漏交蚀,并依定气。若注历即依恆气也。

  推平朔四象 以定气相距置朔弦望经日大小馀,以所入定气大小馀及秒分减之,各其所入定气日算及馀秒也。若大馀少不足减者,加爻数,然后减之。其弦望小馀有少半太,当以爻乘之,乃以气秒分减,退一加象统。小馀不足减,退日算一,加大衍通法也。

  求朔弦望经日入朓朒 各置其所入定气日算及馀秒。减日算一,各以日差乘而半之,以加减其气初定率,前少,加之;前多,减之。以乘其所入定气日算及馀秒。凡除者,先以母通全,内子,乃相乘,母相乘除之也。若忽微之数烦多而不甚相校者,过半收为全,不盈半法,弃之。所得以损益朓朒积,各为其日所入朓朒定数。若非朔望有交者,以十二乘所入日算。三其小馀,辰法除而从之。以乘损益率,如定气辰数而一。所得以损益朓朒积,各为定数也。

  赤道宿度

  右北方七宿九十八度虚分七百七十九太

  右西方七宿八十一度

  右东方七宿七十五度

  前皆赤道度。其毕、觜、参及舆鬼四宿度数,与古不同,今并依天以仪测定,用为常数。纮带天中,仪极攸凭,以格黄道也。推黄道,准冬至岁差所在,每距冬至前后各五度为限。初数十二,每限减一,尽九限,数终于四。殷二立之际,一度少强,依平。乃距春分前、秋分后,初限起四,每限增一,尽九限,终于十二,而黄道交复。计春分后、秋分前,亦五度为限,初数十二,尽九限,数终于四。殷二立之际,一度少强,依平。乃距夏至前后,初限起四,尽九限,终于十二。皆累裁之,以数乘限度,百二十而一,得度。不满者,十二除为分。若以十除,则大分。十二为母,命以太半少及强弱。命曰黄赤道差数。二至前后,各九限,以差减赤道度,为黄道度。二分前后,各九限,以差加赤道度,为黄道度。若从黄道度反推赤道,二至前后各加之,二分前后须减之。

  黄道宿度

  右北方九十七度六虚之差十九太

  右西方八十二度半

  右南方一百一十度半

  右东方七十五度少

  前皆黄道度。其步日行月与五星出入,循此。求此宿度,皆有馀分。前后辈之成少、半、太,准为全度。若上考古下验将来,当据岁差。每移一度,各依术算,使得当时宿度及分,然可步日月五星,知其犯守也。

  推日度 以乾实去中积分。不尽者,盈大衍通法为度。不满,为度馀。命起赤道虚九,去分。不满宿算外,即所求年天正冬至加时日所在度及馀也。以三元之策累加之,命宿次如前,各得气初日加时赤道宿度。

  求黄道日度 以度馀减大衍通法。馀以冬至日躔之宿距度所入限乘之,为距前分。置距度下黄赤道差,以大衍通法乘之,减去距前分。馀,满百二十除,为定差。不满者,以象统乘之。复除,为秒分。乃以定差及秒减赤道宿度。馀,依前命之,即天正冬至加时所在黄道宿度及馀也。

  求次定气 置岁差,以限数乘之,满百二十除,为秒分。不尽为小分。以加于三元之策秒分,因累而裁之,命以黄道宿次去之,各得定气加时日躔所在宿及馀也。

  求定气初日夜半日所在度 各置其气定小馀,副之,以乘其日盈缩分,满大衍通法而一,盈加缩减其副,用减其日时度馀,命如前,各其日夜半日躔行在。求次日,各因定气初日夜半度,累加一策,乃以其日盈缩分,盈加缩减度馀,命以宿次,即半日所在度及馀也。

  大衍步月离术第四

  转终分:六百七十万一千二百七十九。

  转终日:二十七;馀,一千六百八十五;秒,七十九。

  转法:七十六。

  转秒法:八十。

  推天正经朔入转 以转终分去朔积分,不尽,以秒法乘,盈转终分又去之,馀如秒法一而入转分。不尽为秒。入转分满大衍通法,为日。不满为馀。命日算外,即所求年天正经朔加时入转日及馀秒。

  求次朔入转 因天正所入转差日一、转馀二千九百六十七、秒分一,盈转终日馀秒者去之。数除如前,即次日经朔加时所入。考上下弦望,如求经朔四象术,循变相加,若以经朔望小馀减之,各其日夜半所入转日及馀秒。

  求朔弦望入朓朒定数 各朔其所入日损益而半之,为通率。又二率相减为率差。前多者,以入馀减大衍通法,馀乘率差,盈大衍通法得一,并率差而半之。前少者,半入馀,乘率差,亦以大衍通法除之,为加时转率。乃半之,以损益加时所入,馀为转馀。其转馀,应益者,减法;应损者,因馀。皆以乘率差,盈大衍通法得一,加于通率。转率乘之,大衍通法约之,以朓减朒加转率为定率。乃以定率损益朓朒积为定数。其后无同率者,亦因前率,益者以通率为初数,半率差而减之。应通率,其损益入馀,进退日者,分为二日,随馀初末如法求之,所得并以损益转率。此术本出《皇极历》,以究算术之微变。若非朔望有交者,直以入馀乘损益,如大衍通法而一,以损益朓朒为定数,各得所求。

  七日初:二千七百一,约为大分八。末:三百三十九,约为大分一。

  十四日初:二千三百六十三,约为大分七。末:六百七十七,约为大分二。

  二十一日初:二千二十四,约为大分六。末:一千一十六,约为大分三。

  二十八日初:一千六百八十六,约为大分五。末:一千三百五十四,约为大分四。

  右以四象约转终日及馀,均得六日二千七百一分。就全数约为大分,是为之八分。以减法,馀为末数。乃四象驯变相加,各其所当之日初末数也。视入转馀,如初数以下者,加减损益,因循前率;如初数以上,则反其衰,归于后率云。

  求朔弦望定日及馀 以入气、入转朓朒定数,同名相从,异名相消。乃以朓减朒加四象经小馀。满若不足,进大馀。命以甲子算外,各其定日及小馀。干名与后朔叶同者,月大。不同者,小;无中气者,为闰月。凡言夜半者,皆起晨前子正之中。若注历观弦望定小馀,不盈晨初馀数者,退一日。其望,小馀虽满此数,若有交蚀,亏初起在晨初已前者,亦如之。又月行九道迟疾,则三大二小。以日行盈缩,累增损之,则容有四大三小,理数然也。若俯循常仪,当察加时早晚,随其所近而进退之,使不过三小。其正月朔,若有交加时正见者,消息前后一两月,以定大小,令亏在晦二。

  推定朔弦望夜半日所在度 各随定气次日以所直日度及馀分命焉。若以五星相加减者,以四约度馀。乃列朔弦望小馀,副之,以乘其日盈缩分,如大衍通法而一,盈加缩减其副,以加其日夜半度馀,命如前,各其日加时日躔所次。

  推月九道度 凡合朔所交,冬在阴历,夏在阳历,月行青道。冬、夏至后,青道半交在春分之宿,殷黄道东。立冬、夏后,青道半交在立春之宿,殷黄道东南。至所冲之宿亦如之也。冬在阳历,夏在阴历,月行白道。冬至夏至后,白道半交在秋分之宿,殷黄道西。立北。至所冲之宿亦如之也。春在阳历,秋在阴历,月行硃道。春、秋分后,硃道半交在夏至之宿,殷黄道南。立春立秋后,硃道半交在立夏之宿,殷黄道西南。至所冲之宿亦如之也。春在阴历,秋在阳历,月行黑道。春、秋分后,黑道半交在冬至之宿,殷黄道北。立春立秋后,黑道半交在立冬之宿,殷黄道东北。至所冲之宿亦如之也。四序离为八节,至阴阳之始交,皆以黄道相会,故月有九行。各视月交所入七十二候,距交初黄道日每五度为限。交初交中同。亦初数十二,每限减一,数终于四,乃一度强,依平。更从四起,每限增一,终于十二,而至半交,其去黄道六度。又自十二,每限减一,数终于四,亦一度强,依平。更从四起,每限增一,终于十二,复与日轨相会。各累计其数,以乘限度,二百四十而一,得度。不满者,二十四除,为分。若以二十除之,则大分。十二为母,命以半太及强弱也。为月行与黄道差数。距半交前后各九限,以差数为减;距正交前后各九限,以差数为加。此加减是出入六度,单与黄道相交之数也。若交赤道,则随气迁变不恆。计去冬至夏至以来候数,乘黄道所差,十八而一,为月行与赤道差数。凡日以赤道内为阴,赤道外为阳;月以黄道内为阴,黄道外为阳。故月行宿度入春分交后行阴历,秋分交后行阳历,皆为同名;若入春分交后行阳历,秋分交后行阴历,皆为异名。其在同名,以差数为加者加之,减者减之;若在异名,以差数为加者减之,减者加之。皆以增损黄道度为九道定数。

  推月九道平交入气 各以其月恆中气,去经朔日算及馀秒,加其月经朔加时入交泛日及馀秒,乃以减交终日及馀秒,其馀即各平交入其月恆中气日算及馀秒也。满三元之策及馀秒则去之,其馀即平交入后月恆节气日算及馀秒。因求次交者,以交终日及馀秒加之。满三元之策及馀秒,去之。不满者,为平交入其气日算及馀秒。各以其气初先后数先加、后减其入馀。满若不足,进退日算,即平交入定气日算及馀秒也。

  求平交入气朓朒定数 置所入定气日算,倍六爻乘之,三其小馀,辰法除而从之,以乘其气损益率,如定气辰数而一,所得以损益其气朓朒积为定数也。

  求平交入转朓朒定数 置所入定气馀,加其日夜半入转馀,以乘其日损益率,满大衍通法而一,所得以损益其日朓朒积,乃以交率乘之,交数而一,为定数。

  求正交入气 置平交入气及入转朓朒定数,同名相从,异名相消。乃以朓减、朒加平交入气馀,满若不足,进退日算,即为正交入定气日算及馀也。

  求正交加时黄道宿度 置正交入定气馀,副之,乘其日盈缩分,满大衍通法而一,所得以盈加缩减其副,以加其日夜半日度,即正交加时所在黄度及馀也。

  求正交加时月离九道宿度 以正交加时度馀,减大衍通法。馀以正交之宿距度所入限数乘之,为距前分。置距度下月道与黄道差,以大衍通法乘之,减去距前分,馀满二百四十除,为定差。不满者,一退为秒。以定差及秒加黄道度,馀,仍计去冬至夏至以来候数,乘定差,十八而一,所得依名同异而加减之,满若不足,进退其度,命如前,即正交加时月离所在九道宿度及馀也。

  推定朔弦望加时月所在度 各置其日加时日躔所在,变从九道,循次相加。凡合朔加时月行潜在日下,与太阳同度,是为离象。凡置朔弦望加时黄道日度,以正交加时所在黄道宿度减之,馀以加其正交九道宿度,命起正交宿度算外,即朔弦望加时所当九道宿度也。其合朔加时若非正交,则日在黄道,月在九道,各入宿度,虽多少不同,考其去极,若应准绳,故云月行潜在日下,与太阳同度。

  以一象之度九十一、馀九百五十四、秒二十二半为上弦,兑象。倍之而与日冲,得望,坎象。参之,得下弦,震象。各以加其所当九道宿度,秒盈象统从馀,馀满大衍通法从度。命如前,各其日加时月所在度及馀秒也。综五位成数四十,以约度馀,为分。不尽者,因为小分也。

  推定朔夜半入转 恆视经朔夜半所入,若定朔大馀有进退者,亦加减转日,否则因经朔为定。径求次定朔夜半入转,因前定朔夜半所入,大月加转差日二,小月加日一,转馀皆一千三百五十四秒分一。数除如前,即次月定朔夜半所入。

  求次日 累加一日,去命如,各其夜半所入转日及馀秒。

  求每日月转定度 各以夜半入转馀,乘列衰,如大衍通法而一,所得以进加退减其日转分,为月每所转定分,满转法为度也。

  求朔弦望定日前夜半月所在度 各半列衰,减转分。退者,定馀乘衰,以大衍通法除,并衰而半之;进者,半定馀乘衰,定以大衍通法除,皆加所减。乃以定馀乘之,盈大衍通法得一,以减加时月度及分。因夜半准此求转分以加之,亦得加时月度。若非朔望有交,直以定小馀乘所入日转交分,如大衍通法而一,以减其日时月度,亦得所求。

  求次日夜半月度 各以其日转定分加之,分满转法从度,命如前,即次日夜半月所在度及分。

  推月晨昏度 各以所入转定分乘其日夜漏,倍百刻除,为晨分。以减转定分,馀为昏分。分满转法,从度。以加夜半度,望前以昏加,望后以晨加。各得其日晨昏月所在度及分。

  大衍步轨漏第五

  爻统:一千五百二十。

  象积:四百八十。

  辰刻:八;刻分,一百六十。

  昏明刻:各二;刻分,二百四十。

  求每日消息定衰 各置其气消息衰,依定气日数,每日以陟降率陟减降加其分,满百从衰,不满为分。各得每日消息定衰及分。其距二分前后各一气之外,陟降不等,各每以三日为一限,损益如后。

  雨水初日:降七十八。初限每日损十二,次限每日损八,次限每日损三,次限每日损二,末限每日损一。

  清明初日:陟一。初限每日益一,次限每日益二,次限每日益三,次限每日益八,末限每日益十九。

  处暑初日:降九十九。初限每日损十九,次限每日损八,次限每日损三,次限每日损二,末限每日损一。

  寒露初日:陟一。初限每日益一,次限每日益二,次限每日益三,次限每日益八,末限每日益十二。

  求前件四气 置初日陟降率,每日依限次损益之,各为每日率。乃递以陟减降加其气初日消息衰分,亦得每日定衰及分也。

  推戴日之北每度晷数 南方戴日之下,正中无晷。自戴日之北一度,乃初数一千三百七十九。从此起差,每度增一,终于二十五度。又每度增二,终于四十度。又每度增六,终于四十四度,增六十八。每度增二,终于五十五度。又每度增十九,终于六十度,度增一百六十。又每度增三十三,终于六十五度。又每度增三十六,终于七十度。又每度增三十九,终于七十二度,增二百六十。又度增四百四十,又度增一千六十,又度增一千八百六十,又度增二千八百四十,又度增四千,又度增五千三百四十,而各为每度差。因累其差以递加初数,满百为分,分满十为寸,各为每度晷差。又每度晷差数。

  求阳城日晷每日中常数 各置其气去极度,以极去戴日下度五十六,盈分八十二减半之,各得戴日之北度数及分。各以其消息定衰戴日北所直度分之晷差,满百为分,分满十为寸,各为每日晷差。乃递以息减消加其气初晷数,得每日中晷常数也。

  求每日中晷定数 各置其日所在气定小馀,以爻统减之,馀为中后分。置前后分,以其日晷差乘之,如大衍通法而一,为变差。乃以变差加减其日中晷常数,冬至后,中前以差减,中后以差加。夏至后,中前以差加,中后以差减。冬至一日有减无加,夏至一日有加无减。各得每日中晷定数。

  求每日夜半漏定数 置消息定衰,满象积为刻,不满为分。各递以息减消加其气初夜半漏,各得每日夜半漏定数。

  求晨初馀数 置夜半定漏全刻,以九千一百二十乘之,十九乘刻分从之,如三百而一,所得为晨初馀数,不尽为小分。

  求每日昼夜漏及日出入所在辰刻 各倍夜半之漏,为夜刻。以减百刻,馀为昼刻。减昼五刻以加夜,即昼为见刻,夜为没刻。半没刻以半辰刻加之,命起子初刻算外,即日出辰刻。以见刻加之,命如前,即日入辰刻。置夜刻以五除之,得每更差刻,又五除之,得每筹差刻。以昏刻加日入辰刻,得甲夜初刻。又以更筹差加之,得次更一筹之数。以次累加,满辰刻去之,命如前,即得五夜更筹所当辰及分也。其夜半定漏,亦名晨初夜刻。

  求每日黄道去极定数 置消息定衰,满百为度,不满为分,各递以息减消加其气初去极度,各得每日去极定数。

  求每日距中度定数 置消息定衰,以一万二千三百八十六乘之,如一万六千二百七十七而一,为每日度差。差满百为度,不满为分。各递以息加消减其气初距中度,各得每日距中度定数。倍距中度以减周天度,五而一,所得为每更度差。

  求每日昏明及每更中宿度所临 置其日所在赤道宿度,以距中度加之,命宿次如前,即得其日昏中所临宿度。以每更差度加之,命如前,即乙夜初中所临宿度及分也。

  求九服所在每气初日中晷常数 置气去极度数相减,各为生气消息定数,因测所在冬夏至日晷长短,但测至即得,不必要须冬至。于其戴日之北度及分晷数中,校取长短,同者便为所在戴日北度数及分。气各以消定数加减之,因冬至后者每气以减,因夏至后者每气以加。各得每气戴日北度数及分。各因其气所直度分之晷数长短,即各为所在每定气初日中晷常数。其测晷有在表南者,亦据其晷尺寸长短,与戴日北每度晷数同者,因取其所直之度,去戴日北度数,反之,为去戴日南度,然后以消息定数加减。

  求九服所在昼夜漏刻 冬夏至各于所在下水漏,以定当处昼夜刻数。乃相减,为冬夏至差刻。半之,以加减二至昼夜刻数,加夏至、减冬至。为春秋分定日昼夜刻数。乃置每气消息定数,以当处二至差刻数乘之,如二至去极差度四十七分,八十而一,所得依分前后加减二分初日昼夜漏刻,春分前秋分后,加夜减昼;春分后秋分前,加昼减夜。各得所在定气初日昼夜漏刻数。求次日者,置每日消息定衰,亦以差刻乘之,差度而一,所得以息减消加其气初漏刻,各得所求。其求距中度及昏明中宿日出入所在,皆依阳城法求,仍以差度而今有之,即得也。

  又术 置所在春秋分定日中晷常数,与阳城每日晷数校取同者,因其日夜半漏,即为所在定春秋分初日夜半漏。求馀气定日,每以消息定数,依分前后加减刻分。春分前以加,分后以减;秋分前以减,分后以加。满象积为刻,不满为分,各为所在定气初日夜半定漏。

  求次日 以消息定衰依阳城法求之,即得。此术究理,大体合通。但高山平川,视日不等。校其日晷,长短乃同。考其日漏,多少悬别。以兹参课,前术为审也。

  大衍步交会术第六

  交终:八亿二千七百二十五万一千三百二十二。

  交中:四万一千三百六十二;秒,五千六百六十一。

  终日:二十七;馀,六百四十五;秒,一千三百二十二。

  中日:十三;馀,一千八百四十二;秒,五千六百六十一。

  朔差日:二;馀,九百六十七;秒,八千六百七十八。

  望差日:一;馀,四百八十三;秒,九千三百三十九。

  望数日:十四;馀,二千三百二十六;秒,五十。

  交限日:十二;馀,一千三百五十八;秒,六千三百二十二。

  交率:三百四十三。

  交数:四千三百六十九。

  辰法:七百六十。

  秒分法:一万。

  推天正经朔入交 以交终去朔积分,不尽,以秒分法乘。盈交终,又去之。馀如秒法而一,为入交分。不尽,为秒。入交分满大衍通法,为日;不满,为馀。命日算外,即所求年天正经朔加时入交泛日及馀秒。

  求次朔入交 因天正所入,加朔差日及馀秒,盈终日及馀秒者,去之。数除如前,即次月经朔加时所入。

  求望 以望数日及馀秒加之,去命如前,即得所求。若以经朔望小馀减之,各其日夜半所入交泛日及馀秒。

  求定朔夜半入交 恆视经朔望夜半所入,定朔望大馀。有进退者,亦加减交日。否则,因经为定,各得所求。求次定朔夜半入交:因前定朔夜半所入,大月加交差日二,月小加日一,馀皆二千三百九十四、秒八千六百七十八。求次日:累加一百,数除如前,各其夜半所入交泛日及馀秒。

  求朔望入交常日 各以其日入气朓朒定数,朓减朒加其入交泛,馀满大衍通法从日,即为入交常及馀秒。

  求朔望入交定日 各置其日入转朓朒定数,以交率乘之,如交数而一。所得以朓减朒加入交常,馀数如前,即为入交定日及馀秒。

  求月交入阴阳历 恆视其朔望入交定日及馀秒,如中日及馀秒已下者,为月入阳历,已上者,以中日及馀秒去之,馀为月入阴历。

  求四象六爻每度加减分及月去黄道定数 以其爻加减率与后爻加减率相减,为前差。又以后爻率与次后爻率相减,为后差。二差相减,为中差。置所在爻并后爻加减率,半中差以加而半之,十五而一,为爻末率,国为后爻初率。每以本爻初末率相减,为爻差。十五而一,为度差。半之,以加减初率,少象减之,老象加之。为定初率。每次度差累加减之,少象以差减,老象以差加。各得每度加减定分。乃修积其分,满百二十为度,各为每度月去黄道度数及分。其四象,初爻无初率,上爻无末率,皆倍本爻加减率,十五而一。所得各以初末率减之,皆互得其率。馀依术算,各得所求。

  求朔望夜半月行入阴阳度数 各置其日夜半入转日及馀秒,馀以其日夜半入交定日及馀秒减之也,其秒母不等,当循率相通,然后减之,如不足减,即转终日及一馀秒,然后减之。馀为定交初日夜半入转日及馀秒。乃以定交初日夜半入馀与其日夜半入馀,各乘其日转定分,如大衍通法而一。所得满转法为度,不满为分。各以加其日转积度及分,乃相减,其馀即为其夜半月行入阴阳度数及分也。转求次日,但以其日转定分加之,满转法为度,即得。

  求朔望夜半月行入四象度数 置其日夜半入阴阳度数及分,以一象之度九十除之。若以小象除之,则兼除差度一、度分一百六、大分十三、小分十四,讫,然以次象除之。所得以少阳、老阳、少阴、老阴为次,命起少阳算外,即其日夜半所入象度数及分也。先以三十乘阴阳度分,十九而一,为度分。乘又除,为小分。然以象度及分除之。

  求朔望夜半月行入六爻度数 置其日夜半所入象度数及分,以一爻之度一十五除之。所得命起其象初爻算外,即以其日夜半所入爻度数及分也。其月行入少象初爻之内,皆为沾近黄道度。当朔望则有亏蚀。求入蚀限:其入交定日及馀秒,如望差已下交限已上者,为入蚀限。望入蚀限,则月蚀;朔入蚀限,月在阴历则日蚀。入限,如望差已下,为交后。交限已上者,以减中日及馀,为交前。置交前后定日及馀秒通之,为去交前后定分。置去交定分,以十一乘之,如二千六百四十三除之,为去交度数。不尽,以大衍通法乘之,复除为馀。大抵去交十三度以上,虽入蚀限,为涉交数微,光影相接,或不见蚀。

  求月蚀分 其去交定分七百七十九已下者,皆蚀既。已上者,以交定分减望差,馀以一百八十三约之。尽半已下,为半弱;已上,为半强。命以十五为限,得月蚀之大分。

  求月蚀所起 月在阴历,初起东南,甚于正南,复于西南。月在阳历,初起东北,甚于正北,复于西北。其蚀十二分已上者,皆起于正东,复于正西。此皆据南方正午而论之,若蚀于馀方者,各随方面所在,准此取正,而定其蚀起复也。

  求月蚀用刻 置月蚀之大分。五已下,因增三。十已下,因增四。十已上,因增五。其去交定分五百二十已下,又增半。二百六十已下,又增半。各为泛用刻率。

  求每日差积定数 以所入气并后气增损差,倍六爻乘之,综两气辰数除之,为气末率。又列二气增损差,皆倍六爻乘之,各如辰数而一。少减多,馀为气差。加减末率,冬至后以差减,夏至后以差加。为初率。倍气差,亦倍六爻乘之,复综两气辰数以除之,为日差。半之,以加减初末,各为定率。以日差累加减气初定率,冬至后以差加,夏至后以差减。为每日增损差。乃循积之,随所入气日加减气下差积,各其日定数。其二至之前一气,皆后无同差,不可相并,各因前末为初率。以气差冬至前减,夏至前加,为末率。馀依算术,各得所求也。

  阴历:

  蚀差:一千二百七十五。

  蚀限:二千五百二十四。

  或限:三千六百五十九。

  阳历:

  蚀限:一百三十五。

  或限:九百七十四。

  求蚀差及诸限定数 各置其差、限,以蚀朔所入气日下差积,阴历减之,阳历加之,各为蚀定差及定限。

  求阴历阳历的蚀或蚀 其阴历去交定分满蚀定差已上,为阴历蚀。不满者,虽在阴历,皆类同阳历蚀也。其去交定分满蚀定限已下者,其蚀的见。或限以下者,其蚀或见或不见。

  求日蚀分 阴历蚀者,置去交定分,以蚀定差减之,馀一百四已下者,皆蚀既。已上者,以一百四减之,其馀以一百四十三约之,其入或限者,以一百五十二约之。半已下为半弱,半已上为半强,以减十五,馀为日蚀之大分。其同阳历蚀者,但去交定分,少于蚀定差六十已下者,皆蚀既。六十已上者,置去交定分,以阳历蚀定限加之,以九十约之。其阳历蚀者,直置去交定分,亦以九十约之。其入或限者,以一百四十三约之。半已下为半弱,半已上为半强,命以十五为限,亦得日蚀之大分。

  求日蚀所起 月在阴历,初起西北,甚于正北,复于东北。月在阳历,初起西南,甚于正南,复于东南。其蚀十二分已上,皆起正西,复于正东。此亦据南方正午而论之。

  求日蚀用刻 置所蚀之大分,皆因增二。其阴历去交定分多于蚀定差七十已上者,又增三十五;已下者,又增半。其同阳历去交定分少于蚀定差二十已下者,又增半;四十已下者,又增半少。各为泛月刻半率。

  求日月蚀甚所在辰 置去交定分,以交率乘之,二十乘交数除之,所得为差。其月道与黄道同名者,以差加朔望定小馀;异名,以差减朔望定小馀,置馀定馀。如求发敛加时术入之,即蚀甚所在辰刻及分也。其望甚辰月当冲蚀。

  求亏初复末 置日月蚀泛用刻率,副之,以乘其日入转损益率,如大衍通法而一。所得应朒者,依其损益;应朓者,损加益减其副,为定用刻数。半之,以减蚀甚辰刻,为亏初;以加蚀甚辰刻,为复末。其月蚀求入更筹者,置月蚀定用刻数,以其日每更差刻除,为更数;不尽,以每筹差刻除,为筹数。综之为定用更筹。乃累计日入至蚀甚辰刻置之,以昏刻加日入辰刻减之,馀以更筹差刻除之。所得命以初更筹外,即蚀甚筹。半定用更筹减之,为亏初;以加之,为复末。按天竺僧俱摩罗所传断日蚀法,其蚀朔日度躔于郁车宫者,的蚀。诸断不得其蚀,据日所在之宫,有火星在前三后一之宫并伏在日下,并不蚀。若五星总出,并水见,又水在阴历,及三星已上同聚一宿,亦不蚀。凡星与日别宫或别宿则易断,若同宿则难断。更有诸断,理多烦碎,略陈梗概,不复具详者。其天竺所云十二宫,则中国之十二次也。曰郁车宫者,即中国降娄之次也。十二次宿度,首尾具载「历仪分野」卷中也。

  求九服所在蚀差 先测所在冬、夏至及春分定日中晷长短、阳城每日中晷常数,校取同者,各因其日蚀差,即为所在冬、夏至及春秋分定日蚀差。

  求九服所在每气蚀差 以夏至差减春分差,以春分差减冬至差,各为率。并二率半之,六而一,为夏率。二率相减,六一为差。置总差,六而一,为气。半气差,以加夏率,又以总差减之,为冬率。冬率即是冬至之率也。每以气差加之各气,为每气定率。乃循其率,以减冬至蚀差,各得每气初日蚀差。求每日,如阳城求之,若戴日之北,当计其所在,皆反之,即得。

  大衍步五星术第七

  岁星

  终率:一百二十一万二千三百七十九;秒,十八。

  终日:三百九十八;馀,二千六百五十九;秒,六。

  变差算:空;馀,三十四;秒,十四。

  象算:九十一;馀,二百三十八;秒,五十七十二。

  爻算:十五;馀,一百六十六;秒,四十六十二。

  镇星

  终率:一百一十四万九千三百九十九;秒,九十八。

  终日:三百七十八;馀,二百七十九;秒,九十八。

  变差算:空;馀,二十二;秒,九十二。

  象算:九十二;馀,二百三十七;秒,八十七。

  爻算:十五;馀,一百六十六;秒,三十一。

  太白

  终率:一百七十七万五千三十;秒,十二。

  终日:五百八十三;馀,二千七百一十一;秒,十二。

  中合日:二百九十一;馀,二千八百七十五;秒,六。

  变差算:空;馀,三十;秒,五十三。

  象算:九十二;馀,二百三十八;秒,三十四五十四。

  爻算:十五;馀,一百六十六;秒,三十九九。

  辰星

  终率:三十五万二千二百七十九;秒,七十二。

  终日:一百一十五;馀,二千六百七十九;秒,七十二。

  中合日:五十七;馀,二千八百五十九;秒,八十六。

  变差算:空;馀,一百三十六;秒,七十八六十。

  象算:九十一;馀,二百四十四;秒,九十八六十。

  爻算:十五;馀,一百六十七;秒,三十九七十四。

  辰法:七百六十。

  秒法:一百。

  微分法:九十六。

  推五星平合 置中积分,以天正冬至小馀减之,各以其星终率去之,不尽者,返以减终率,满大衍通法为日,不满为馀,即所求年天正冬至夜半后星平合日算及馀秒也。

  求平合入爻象历 置积年,各以其星变以差乘之,满乾实去之,不满者,以大衍通法约之,为日。不尽为馀秒。以减其星冬至夜半后平合日算及馀秒,即平合入历算数及馀秒也。各四约其馀,同其辰法也。

  求平合入四象 置历算数及秒,以一象之算及馀秒除之,所得,依入爻象次命起少阳算外,即平合所入象算数及馀秒也。

  求平合入六爻 置所入象算数及馀秒,以一爻之算及馀秒除之,所得,命起其象初爻算外,即平合所入爻算数及馀秒也。

  求四象六爻每算损益及进退定数 以所入爻与后爻损益率相减为前差,又以后爻与次后爻损益率相减为后差,前后差相减为中差。置所入爻并后爻损益率,半中差以加之,九之,二百七十四而一,为爻末率,因为后爻初率。皆因前爻末率,以为后爻初率。初末之率相减,为爻差。倍爻差,九之,二百七十四而一为算差。半之,加减初末,各为定率。以算差累加减爻初定率,少象以差减,老象以差加。为每损益率。循累其率,随所入爻,损益其下进退,即各得其算定。其四象初爻无初率,上爻无末率,皆置本爻损益,四而九之,二百七十四而一,各以初末率减之,皆互得其率。馀依术算,各得所求。

  求平合入进退定数 各置其星平合所入爻之算差,半之,以减其所入算损益率。损者,以所入馀乘限差,辰法除,并差而半之;益者,半入馀乘差,亦辰法除。加所减之率,乃以入馀乘之,辰法而一,所得以损益其算下进退,各为平合所入进退定数。此法微密,用算稍繁。若从省求之,亦可置其所入算馀,以乘其下损益率,如辰法而一,所得以损益其算下进退,各为定数。

  求常合 置平合所入进退定数,金星则倍置之。各以合下乘数乘之,除数除之,所得满辰法为日,不满为馀,以进加退减平合日算及馀秒,先以四约平合馀,然以进加退减也。即为冬至夜半后常合日算及馀也。

  求定合 置常合日先后定数,四而一,所得满辰法为日,不满为馀。乃以先减后加常合算及馀,即为冬至夜半后定合日算及馀也。

  求定合度 置其日盈缩分,四而一以定合馀乘之,满辰法而一,所得以盈加缩减其定馀,以加其日夜半日度馀,先四约夜半日度馀以加之。满辰法从度。依前命之算外,即为定合加时度及馀也。

  求定合月日 置冬至夜半后定合日算及馀秒,以天正冬至大小馀加之,天正经朔大小馀减之。其至、朔小馀,皆以四约之,然用加减。若至大馀少于经朔大馀者,又以爻数加之,然以经朔大小馀减之。其馀满四象之策及馀,除之,为月数,不尽者,为入朔日算及馀。命月数起天正日算起经朔算外,即定所在日月也。其定朔大馀有进退,进减退加一日,为在其日月定及馀也。

  求定合入爻 置常合及定合应加减定数,同名相从,异名相消。乃以加减其平合入爻算馀,满若不足,进退其算,即为定合入爻算数及馀也。

  求变行初日入爻 置定合入爻算数及馀,以合后伏下变行度常率加之,满爻率去之,命爻次如前,即次变初日入爻算数及馀也。更求次变入爻变入,但以其下行度常加之,去命如上节。

  求变行初日入进退定数 各置其变行初日入爻算数及馀,如平合求进退术入之,即得变行初日所入进退定数也。置进退定数,各以其下乘数乘之,除数除之,所得各为进退变率。

  求变行日度率 置其本进退变率与后变率,同名者,相消为差。在进前少,在退前多,各以差为加;在进前多,在退前少,各以差为减。异名者,相从谓并。前退后进,各以并为加;前进后退,各以并为减。逆行度率则反之。皆以差及并,加减日度中率,各为日度变率。其水星疾行,直以差以并加减度之中率,为变率。其日直因中率为变率,不烦加减也。

  求变行日度定率 以定合日与后变初日先后定数,同名相消为差,异名者相从为并。四而一,所得满辰法为度。乃以盈加缩减其合后伏度之变率及合前伏日之变率。金水夕合日度,加减反之。其二留日之变率,若差于中率者,即以所差之数为度,各加减本迟度之变率。谓以多于中率之数加之,少于中率之数减之。以下加减准此。退行度变率,若差于中率者,即倍所差之数,各加减本疾度之变率。其木土二星,既无迟疾,即加减前后顺行度之变率。其水星疾行度之变率,若差于中率者,即以所差之数为日,各加减留日变率。其留日变率若少不足减者,即侵减迟日变率也。各加减变率讫,皆为日度定率。其日定率有分者,前后辈之。辈,配也。以少分配多分,满全为日,有馀转配。其诸变率不加减者,皆依变率为定率。

  求定合后夜半星所在度 置其星定合馀,以减辰法,馀以其星初日行分乘之,辰法而一,以加定合加时度馀,满辰法为度。依前命之算外,即定合后夜半星所在宿及馀。自此以后,各依其星,计日行度所至,皆从夜半为始也。转求次日夜半星行至:各以其星一日所行度分,顺加退减之。其行有小分者,各满其法从行分一。行分满辰法,从度一。合之前后,伏不注度,留者因前,退则依减。顺行出虚,去六虚之差;退行入虚,先加此差。先置六虚之差,四而一,然用加减。讫,皆以转法约行分为度分,各得每日所至。其三星之行日度定率,或加或减,益疾益迟,每日渐差,难为预定,今且略据日度中率商量置之。其定率既有盈缩,即差数合随而增损,当先检括诸变定率与中率相近者,因用其差,求其初末之日行分为主。自馀变因此消息,加减其差,各求初末行分。循环比校,使际会参合,衰杀相循。其金水皆以平行为主,前后诸变,亦准此求之。其合前伏虽有日度定率,如至合而与后算计却不叶者,皆从后算为定。其五星初见伏之度,去日不等,各以日度与星度相校。木去日十四度,金十一度,火土水各十七度,皆见;各减一度皆伏。其木火土三星前顺之初,后顺之末,又金水疾行、留、退初末,皆是见伏之初日,注历消息定之。其金水及日月等度,并弃其分也。

  求每日差 置所差分为实,以所差日为法。实如法而一,所得为行分,不尽者为小分。即是也每日差所行分及小分也。其差若全,不用此术。

  求平行度及分 置度定率,以辰法乘之,有分者从之,如日定率而一,为平行分。不尽,为小分。其行分满辰法为度,即是一日所行度及分。

  求差行初末日行度及分 置日定率减一,以差分乘之。二而一,为差率,以加减平行分。益疾者,以差率减平为初日,加平为末日。益迟者,以差率加平为初日,减平为末日也。加减讫,即是初末日所行度及分。其差不全而与日相合者,先置日定率减一,以所差分乘之,为实。倍所差日为法。实如法而一,为行分。不尽者,因为小分,然为差率。

  求差行次日行度及分 置初日行分,益迟者,以每日差减之;益疾者,以每日差加之,即为次日行度及分也。其每日差、初日行皆有小分,母既不同,当令同之。然用加减,转求次日,准此各得所求也。

  径求差行馀日行度及分 置所求日减一,以每日差乘之,以加减初日行分,益迟减之,益疾加之。满辰法为度,不满为行分,即是所求日行度及分也。

  求差行,先定日数,径求积度及分 置所求日减一,次每日差乘之,二而一,所得,以加减初日行分。益迟减之,益疾加之。以所求日乘之,如辰法而一,为积度。不尽者,为行分。即是从初日至所求日积度及分也。

  求差行,先定度数,径求日数 置所求行度,以辰法乘之,有分者从之。八之,如每日差而一,为积。倍初日行分,以每日差加减之。益迟者加之,益疾者减之。如每日差而一,为率。今自乘,以积加减之,益迟者以积减之,益疾者以积加之。开方除之。所得,以率加减之。益迟者以率加之,益疾者以率减之。乃半之,即所求日数也。其开方除者,置所开之数为实,借一算于实之下,名曰下法。步之,超一位,置商于上方,副商于下法之上,名曰方法。命上商以除实,毕,倍方法一折,下法再折,乃置后商于下法之上,名曰隅法。副隅并方,命后商以除实,毕,隅从方法折下就除,如前开之。讫除,依上术求之即得也。

  求星行黄道南北 各视其星变行入阴阳爻而定之。其前变入阳爻为黄道北,入阴爻为黄道南;后变入阳爻为黄道南,入阴爻为黄道北。其金水二星,以爻变为前变,各计其变行,起初日入爻之算,尽老象上爻末算之数,不满变行度常率者,因置其数,以变行日定率乘之,如变行度常率而一,为日。其入变日数,与此日数以下者,星在黄道南北,依本所入阴阳爻为定。过此日数之外者,黄道南北则返之。

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